题记：本想就概率的3个定义讨论一下数学的概念，不知怎么就成了“胡扯”。Faint。。。

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什么是概率？这是个难以明确界定，但是似乎谁都知道的概念。对于这样的问题，这样的概念，如何准确把握其内在思想？如何有效并且无误地利用它？更为重要的是，如何确信你在使用这样的概念的时候，跟别人想的是同一个意思？换句话说，你凭什么保证在跟别人交流时使用的概念是可以被理解的？建议你停一下，仔细想想这几个问题。。。。现在，我猜你已经明白为什么需要数学定义了。
是的，对于这样的概念，只有给出明确的数学定义才能保证大家说的是同一件事。当然有些概念无法用数学来定义，例如什么叫死亡，以及与之相对应的，什么叫生命？现有的生物学定义与上世纪初的定义显然是不一样的，而且如果现在就断言说将来不会有新的定义出现，我将倍感惊讶；这意思是说，有些概念注定了是随着人类知识的进步而不断发展变化的。另有一些概念大概永远无法明确定义，无论你采用人类的哪种知识体系（无论是数学、生物学还是心理学）都不行，例如什么叫爱情？我猜这是因为这种概念本身已超越人类理性，或者因为即使真搞出一个“科学”的定义，大多数人也会认为它不符合自己头脑中那个“爱情”概念。从这个意义上讲，有时我觉得应该指出：在认识到数学定义只适合于少数概念这一事实的同时，我们也应该认识到我们是多么幸运；因为毕竟还有些概念是可以用数学明确定义的；如果所有的概念都是不断变化的，或者根本无法定义，那么人类理性就是一个笑话，尽管个人认为那将是一个令人悲哀的笑话。欧洲中世纪的许多最聪慧的大脑都穷其一生追求对“上帝存在”这一概念的数学定义。尽管结果大多非常可笑（当然，正如我说的，你要是认真琢磨过他们那种较真的劲头，那种严肃的努力本身其实一点也不可笑），可至少从另一个侧面反映了数学定义的明确性是多么重要。
那么，什么才叫数学定义？定义无非是一种描述：用一些概念描述待定义的那个概念。那么那些用于描述的概念本身需要定义么？是的，它们也需要被定义。显然，这里存在一个明显的问题。这样一直追问下去的结果是什么？或者说，彻底坚持理性、彻底坚持概念的明确性的结果必然是：什么东西都无法定义。除非。。。除非我们能追溯到一些不言自明的，不需定义大家也不会搞错的概念。我猜这就是首先引入公理、公设体系的那些先哲们在解决这一困扰时想出来的办法。然而，他们还更进了一层：他们甚至区分了公理和公设这两个概念。按照亚里斯多德的说法，公理应该是我们刚才所讨论的那种所谓“不言自明”的事实，它是不需要证明的，是“真”的。而公设则不然，它只是一个假设，不必是“真”的，甚至可以是矛盾的；公设只是作为后续推导的一个逻辑上（注意是逻辑上，不是“事实上”）的依据而已。欧几里德的《几何原本》开篇就是一大堆定义，然后就是5个公设和5个公理。其定义非常模糊，常为后人诟病，5个公理在逻辑上也并非必要。只有那5个公设被认为是整个欧几里德几何的逻辑基础。现在，请仔细考虑这样两件事实：1）公设只是假设而已；2）欧氏几何的逻辑基础是5个公设。Ring a bell？Yeah。这样两个事实的必然结论是：欧氏几何并不一定是“真”的！是的，这的确是个令人难以接受的事实，难道在人类日常生活中应用如此广泛的几何也会是错的么？记得我是上大一时看一本书叫《第三次数学危机》时首次接触到这个概念的，后来在《数学：确定性的丧失》中再次认真研读了这一思想，我至今记得当时感受到的那种震惊，以及震惊之后类似“我知道了！”那种喜悦。它让我明白了这样一个道理：直觉是不可信的；唯有彻底的人类理性才是可以依赖的。数学史上的确有其它的“几何学”，与欧氏几何的不同就在于作为逻辑基础的公设不同。实际上只有第5公设，即平行线公设不同；而且事实上其它4个公设都可以被证明是“真”的，换句话说，前4个公设可以当作“公理”；只有第5公设被认为是人类直觉难以把握的，从欧几里德时代开始就有人试图证明第5公设，但这样的努力一直没有成功，直到非欧几何的出现人们才放弃这一努力。而这些非欧几何中最著名的大概就是黎曼几何，爱因斯坦在描述其广义相对论时所使用的就是黎曼几何。
有点晕了，到底想说啥？其实我想说的是这样一个事实，并且幼稚地希望它已经被说清楚了：我们能给出的最好的数学定义也不过是在一定假设条件下的、不保证为“真实”的、或许可以被称作模糊的、甚至是拙劣的描述。概率这个概念的最好的定义就是这样一种描述：概率的公理化定义。整个概率论都基于以下3个公设：1）所谓概率，不过是赋给事件A的某个大于等于0的数，即P(A)大于等于0；2）所有事件全集的概率为1；3）如果事件A和B互斥，则有P(A+B)=P(A)+P(B)。这是一个“最好”的关于概率的定义，但却是最晚出现的。它是由那个名字拗口得令人绝望的伟大的Kolmogoroff在1933年提出的。需要注意的是，这个定义根本没有说明到底该怎么给那些事件赋值。换句话说，随便你怎么赋概率值都可以，只要满足上述3个条件，所有其它概率论的定理或结论都成立。之所以说这个定义是最好的，是因为它是最明确的，最没有歧义的，而且符合数学的公理化原则的。但是很显然，这个定义完全没有我们预期中的那种效果：拿着这个定义就可以去计算真正的概率值了。所以这个定义被称为“最好”是在数学意义上说的，与实际操作无关。
那么是否还有其它更加“可操作”的概率定义呢？有，这就是概率的第2种定义：相对频率定义。这个定义是说：如果你做n次实验，其中nA次结果是事件A发生，那么当n趋于无穷时，A的概率等于nA与n之比值。天哪！你把这称为“可操作”的定义？无穷是什么意思？到底要做多少实验才能算是“趋于”无穷了？您先别急，想想看，这种定义至少说明了一种计算概率值的方法，哪怕是理论上的可操作性，至少也比公理化定义要更容易理解吧？当然作为数学，这样模糊的定义一定不足取。估计前面提到的那个柯老大以及他的先辈们正是基于这种对模糊定义的反感（而且我估计简直是生理上的反感），在相对频率的极限条件下的性质方面做了大量的工作，希望能“精确”界定在什么条件下相对频率可以趋近于概率。他们在这个领域的许多独创性工作对于我们理解概率的本质含义具有极其重要的意义。简单的说，他们工作的成果就是我们在初级概率教材中就可以学到的中心极限定理。这些人除了柯尔莫果罗夫之外，还包括车比雪夫、辛钦、马尔科夫、伯恩斯坦等人，一般称为俄罗斯古典学派。提到学派，多扯两句。我有时想，要是什么时候人们在学习某门学科时，都必须、不得不谈论中国学派，清华学派，成都学派，甚至成电学派，那该多么令人自豪啊！中国人作为一个整体在人类理性科学发展历史（尤其是近代史）中的地位比阿拉伯人、犹太人、甚至日本人都要低，跟德国、美国、英法、俄罗斯根本就没法比！这是一件多么令人痛心的事实啊。难道真的是因为我们笨或者懒么？如果不是，那么是否象有的人说的那样，是因为我们穷？可是富了之后的那些人们都是些什么货色？能指望他们？到底从什么时候开始我们整个民族不再进取？到底从什么时候开始我们民族最优秀的人才也不再以振兴中华为己任，而是以振兴自家的钱包为己任？！有时候也对自己说，年轻时什么也不懂，发发这样的感慨（甚至愤慨）倒也罢了，为什么都这么大岁数了还会为这样的事情发愁？通常情况下，我的答案带点自嘲性质：老夫聊发少年狂而已，睡一觉也就忘了。但偶尔也会用一个反问来回答自己：你自己呢？你努力了么？你进取了么？然后被这些想法惊出一身冷汗，赶快冲个滚烫的热水澡，希望那些问题也随周围的水汽一起蒸发，不再来烦我。从没有想过要跟人交流这些想法，但既然是胡扯，而且是在BLOG上（不是在书上，也不是在课堂上），有什么好怕的？所以斗胆把这些问题放在这里：你呢？你努力了么？你进取了么？可能还需要加一句：你在为了什么进取或努力？
回到概率的定义上来。有了俄罗斯古典学派的伟大贡献，概率的相对频率定义不再是一无是处的模糊概念。但是其可操作性仍然不能令人满意。难道概率论真的就这么不实用么？不是的。事实上，概率还有第3种定义，而且是许多世纪以前人们就在使用的定义，这就是概率的古典定义。这个定义简单得简直令人发指：假定一种实验的所有可能出现的结果数目为N，对事件A有利的结果数目为NA，那么事件A的概率为NA与N之比值。还是举那个被人用烂了的例子：掷骰子。骰子有6面，每次实验（掷一次）必定有一面数字朝上。显然这种实验的可能出现的结果数目为6，即N=6。若事件A定义为：朝上的数字为偶数。那么有多少结果对事件A有利呢，当然是3：数字2、4或者6朝上都对事件A有利。所以事件A的概率为3除以6＝0.5。这个定义怎么样？够简单吧？够清楚吧？够直观吧？可操作性强吧？——现在大家满意了吧（念到这里，请站直身体，双手握拳置于腰间，然后前后摆动胯部和双手，但双手与胯部的摆动方向要相反）。可是，你知道吗（别说我没提醒你，谁敢说我象柯以敏我就跟谁急），这是3种定义当中最不精确的一个，从数学上说，可以算是最差的一个。为什么？因为这个定义中隐含了一个巨大的假设。是的，巨大：这个假设是如此巨大，以至于你稍微想想就能想明白；而且这个假设是如此巨大，以至于这个定义只能应用于很小的范围，简直可以说它就不能算是一个有效的定义！这个假设就是：所有实验结果出现的概率必须相等。如果实验结果不等概，上述NA与N的比值就毫无意义，什么也不代表。仍举那个烂例子，要是这个骰子的物质并不均匀呢？比如说有一面特沉，掷骰子的结果还能是等概的吗？我估计你头脑中开始出现韦小宝或者轩辕一光那样的货色了，请先遏制一下你的想象力。这里的关键是这样：当我描述概率的古典定义时，并没有指出这个假设，而你仍认为它是正确的，为什么？因为你认为骰子6面朝上的概率相等这件事是不言自明的，是符合人类几千年来（希罗多德在其《历史》中记载说约公元前1200年人们就用骨头制成骰子做游戏）的直观感觉的。可是要是直觉错了呢？几千年来人们玩的骰子都是不均匀的，无论用什么材料做，无论用什么工艺做，骰子都不可能完全均匀，你怎么保证结果等概？要是你说：我直觉它是对的，因为掷许多许多次后结果的确接近于等概，那我问你，到底做了多少次实验？10000次？million次？。。。首先，你肯定没时间做这么多次实验；其次，即使你真做了10000次实验，其中每个数字朝上的次数完全相等也是不可能的，就算相等的话（当然我会十分惊奇），你再做10000次也肯定不再会相等；最后（but not least），你做实验用的骰子也是特定的骰子，换个骰子还能保证这个结果么？所以啊，承认吧，这里没有任何真正有说服力的证据，只有你的直觉而已，而且你无法保证这种直觉是正确的。再举个不那么烂的例子。兵工厂生产炮弹，请你去回答这样一个问题：出厂的炮弹是臭弹（即因某种故障无法引爆的炮弹）的概率是多大？你推推眼镜，根据古典概型的定义做如下推导：把炮弹用大炮打出去作为一次实验，该实验的结果只有两种，要么可以引爆，要么不能；所以出厂炮弹为臭弹的概率为0.5。你猜你会是什么下场？如果兵工厂的工人们不那么生气而且有一定幽默感的话，我猜他们会把你做成一个臭弹，并且在出厂装箱时特别在箱盖上注明：“这家伙嘴特别臭，为防止他所预言的那个臭弹比例真的有效，请不要与其它炮弹混合存放”云云。这个例子的关键是：兵工厂里严格的一道道工序就是要尽量让臭弹概率减小，因此出厂时炮弹是否能被引爆已不是等概事件。那么古典概率定义岂非笑话？干吗还拿出来说？实际上，古典概率定义的基础是一个称为“不充分理由原则”（Priciple of insufficient reason）的古怪命题。这个命题是由一个每个成电学生都知道名字的家伙——贝努利在1713年提出的（这个家族出了一大堆数学天才，而且好几个都在概率论方面做出过贡献，鬼才知道这个命题是哪个贝努利提出的）。这个原则是这么说的：在没有任何先验知识的情况下，我们必须（听好，是必须，must）假定所有实验结果等概。这是因为，当时的人们坚信，所谓概率，就是关于实验结果的现有知识状态的一种度量而已。如果这种信念是对的，那么所有骰子结果等概也就可以理解了。实验前你知道骰子甩出来后哪面朝上么？不知道。而且更关键的是，对不同的结果，你“不知道”的程度是一样的；你没有“1朝上的可能性更大”这样的先验知识。换句话说，我们关于“1面朝上”和“6面朝上”的知识状态是一样的，既然概率就是度量这种知识状态的，那么“1面朝上”的概率当然应该等于“6面朝上”的概率。Papoulis在他那本著名的教材中说，这个“不充分理由原则”与“最大熵原则”（Priciple of maximum entropy）是等价的，不过要在那本教材的第15章才会有证明。我好像从没有把任何一本超过15章的数学教材看完过，所以，你要真的感兴趣，请自己去看，然后告诉我什么是“最大熵原则”，OK？
所以，概率有3个定义：1）公理化定义；2）相对频率定义；3）古典定义。第一个是最好的数学定义，出现最晚，但最不可操作。第2个数学上有一定缺陷，操作性稍好一些，稍直观一些，Papoulis说有个Von Mises的家伙曾在本世纪初利用这种定义发展出一套完整的概率理论，并且被证明比第3种定义利于数学推导，但是随着第1种定义的出现，Von同志被扔了很多西红柿，郁闷退场。第3种定义出现最早，最为直观，可操作性强，但在数学上有比较大的缺陷。
我的观点是，对于工科学生而言，能够从直觉上把握事物或者概念的实质是非常重要的，比掌握数学推导技巧更重要。因此，学数学时应该着重掌握类似概率古典定义那样的概念，而不必一定达到类似概率公理化定义那样的严密程度。但是，在利用直觉把握数学概念时，切记不要犯臭弹例子中的那种错误，因为直觉是不可靠的。那怎么才能避免被做成臭弹？很简单，在利用直觉把握了数学概念之后，不要轻信这种直觉，多想想，从不同的角度去想想这个问题，不要盲目地认为你已经“懂”了。或者干脆这样：永远不要以为自己已经懂了，时刻提醒自己还需要进一步深入。因为关于一个事物、一个概念的知识状态是在不断变化的。换句话说，“懂得”也是有层次的，永远不要轻易地放弃对下一个层次的追求。正是从这个意义上讲，我认为工科学生学概率论，最好是能达到概率的相对频率定义那样的程度，掌握与这种定义相关的所有概念（当然包括怎么强调也不过分的中心极限定理），做到真正理解这些概念的实质。当然，这不是一件轻松的事，需要大量的阅读（Papoulis的书应该是一个不错的入门教材）和大量的思考（我是说真正的思考，包括做笔记，做习题之类的）。但是，有谁说过学数学是轻松的吗？
好了，就讲到这里，下课！